Analyse vectorielle

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J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Motivation

Si f est une fonction continue d'un intervalle dans RR, on définit l'intégrale de a à b de la fonction f : . Il y a deux propriétés de l'intégration que l'on voudrait généraliser lorsqu'on se place dans ou  :

Préliminaires

Champ de vecteurs

Champ de vecteurs

Définition : Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel) F sur défini sur un domaine de est une fonction de dans . Il est dit continu si F est continu, C1 si F est C1 (c'est-à-dire continu et admettant des dérivées partielles continues).

Ainsi, à un point de , on associe un vecteur F(x1, x2, x3, x4) de .
Exemple : Dans les champs de vecteurs représentés graphiquement, les longueurs des vecteurs sont souvent modifiés par un coefficient de proportionnalité pour des raisons esthétiques. Il est souvent aussi plus facile de représenter le champ de directions associé, c'est-à-dire de dessiner des vecteurs unitaires représentant les directions du champ en oubliant son "intensité" c'est-à-dire sa norme. Voici les deux représentations du champ donné par F(x,y)=(,)
.
.

D'autres exemples dans le plan

Représentation graphique d'un champ

Soit F le champ défini par F(x,y)=(,). Voici une représentation de ce champ à droite et la représentation du champ de directions associé à gauche (celui-ci est le champ G défini par :
.
.

Exemples de champ

Exemple :

Ne pas confondre avec un champ scalaire sur qui est pour le mathématicien une fonction d'un domaine de dans RR. Par exemple, le champ de température est la fonction donnant la température en un point le champ de pression est la fonction donnant la température en un point.
Exemple Vous avez rencontré en physique des champs de vitesse champs de force, des champs électriques, des champs magnétiques, des champs électrostatiques, des champs de vitesse, des champs gravitationnels. Quelle grandeur physique représente dans chaque cas le champ ?

Le gradient

Soit une fonction de 3 variables. On lui associe un champ de vecteurs appelé champ de gradient et noté grad f ou nabla f :

En posant M = (x,y,z) ,
.
Exercice
Autres notations :

Pour plus de détails relatifs aux fonctions de plusieurs variables, au gradient et aux courbes de niveau, voir Doc Fonctions de plusieurs variables

Champ de vecteurs associé à une équation différentielle

Soit f une fonction sur un ouvert de . On considère une équation différentielle y' = f(x,y) et on lui associe le champ de vecteurs suivant : à un point M = (x,y) de , on associe le vecteur unitaire de direction (1,f(x,y)). C'est donc le vecteur . Si est une solution sur un intervalle I, on a et le vecteur tangent à la courbe d'équation en un point est colinéaire au champ de vecteurs associé à l'équation différentielle.
Exemple : Voici le dessin des directions associés à l'équation différentielle
y'=
.

Systèmes différentiels

Soit
un système d'équations différentielles. Le champ de vecteurs associé est le champ de vecteurs F=(f1,f2) (champ de vitesse par exemple).
Une courbe intégrale est, disons, une courbe paramétrée qui est C1 et qui vérifie

En chaque point, la tangente est de direction le champ de vecteurs F. On les appelle aussi lignes de courant : ce sont par exemple, les trajectoires d'un objet dont le champ de vitesse est le champ de vecteurs considéré.
Exemple :
.
Le champ associé au système différentiel
est donné par
F(x,y)= (,)

Formes différentielles

Rappels sur les formes linéaires


Définition : Une forme linéaire h sur l'espace vectoriel est une application linéaire de dans RR.

Par exemple, la projection est une forme linéaire de , notons-la . De même, la projection est une forme linéaire, notons-la .
Toute forme linéaire h est représentée (dans la base usuelle (e1, e2 , e3 ) de ) par une matrice à une ligne et 3 colonnes (a1,a2 ,a3 ) et on a
h(x,y,z)=h(x e1 +y e2 +z e3)= x h( e1)+y h(e2)+z h(e3)
c'est-à-dire
Ainsi, toute forme linéaire sur est combinaison linéaire des (e1, e2, e3).
Exercice : Vérifier que si f est une forme linéaire sur , il existe un vecteur v tel que pour tout vecteur u de .

Formes différentielles

Commencer par des rappels sur les formes linéaires avant la définition suivante :
Définition : Une forme différentielle alpha (de degré 1) sur un ouvert de est la donnée en chaque point M de d'une forme linéaire . En coordonnées,

Par exemple pour n=5 , cela s'écrit
Pour n=2, avec des notations un peu différentes,


Exemple des formes différentielle associées à une fonction : Soit une fonction de n variables. On lui associe la forme différentielle de degré 1
Par exemple, pour n = 5 ,
d f = D1(f) e1 + D2(f) e2 + D3(f) e3 + D4(f) e4 + D5(f) e5
Pour n = 2,
Si f(x,y) = x, on obtient , si f(x,y) = y, on obtient . D'où la notation commode , et l'expression plus familière qu'il faut retenir
.
et lorsqu'il y a n variables,
Pour n=1 La notion (ou notation) si on remplace par RR est la suivante :
à une fonction d'une variable F sur un intervalle I de RR, on associe
Le champ F est un champ de gradient si F est la dérivée d'une fonction f. La forme différentielle associée est alors d f = f'dx, d'où la notation .

Lien entre champs de vecteurs et formes différentielles

Champs de vecteurs et formes différentielles sont extrêmement liés. Si
est une forme différentielle sur , on lui associe le champ de vecteurs
.

En posant , on a alors symboliquement
.

Par exemple, si f est une fonction sur , le champ de vecteurs associé à la forme différentielle d f est égal à grad f et on a

Intégration le long d'une courbe

On désire définir l'analogue de avec . Pour cela on remplace le segment [ a , b] de RR par une courbe paramétrée de ou de et f(t) d t par une forme différentielle ou par .

Rappels sur les courbes paramétrées

Définition : Une courbe paramétrée (plane) est une application d'un intervalle I de RR dans , ce qu'on appelle aussi fonction vectorielle . Le paramètre est t, l'image de cette application est formée des points de la courbe.
Autrement dit, si n=2 , une courbe paramétrée dans est donnée par
.
On note l'image de c. Lorsque I est un intervalle fermé borné [a,b], les points extrémités de sont les points c(a) et c(b). La courbe est fermée si c(a)=c(b). On écrit par exemple
   

On ne regardera que des courbes C1 par morceaux sur un intervalle fermé, c'est-à-dire telles que les 2 fonctions c1 , c2 soient continues et C1 par morceaux, on appelle une telle courbe un chemin de A=c(a) vers B=c(b).

Vecteur tangent à une courbe paramétrée

En un point t où les ci sont dérivables et tel que les c'i(t)) ne soient pas tous nuls, le vecteur vitesse ou vecteur tangent est le vecteur ou encore . Par exemple, pour n=4, la tangente à la courbe en c(t) a la représentation paramétrique
x1= c1(t) + u c1'(t)
x2= c2(t) + u c2'(t)
x3= c3(t) + u c3'(t)
x4= c4(t) + u c4'(t)
pour , ce qui traduit la relation de colinéarité des vecteurs et v(t) : .

Le cercle paramétré par x=, y= et son vecteur vitesse
Exercice sur la droite tangente à une courbe paramétrée.

Changement de paramètres

On peut changer le paramétrage, c'est-à-dire remplacer t par où varphi est une bijection d'un intervalle J sur I, continue, dérivable, à dérivée continue et strictement positive . Prenons n=3 . La nouvelle courbe paramétrée est donnée par C=(C1 , C2 , C3 ) avec , , pour . Les points des deux courbes paramétrées sont les mêmes. Mais le vecteur vitesse n'est pas le même :
.

Nous avons supposé que le changement de paramétrage varphi est croissant, ainsi la courbe est "parcourue" dans le même sens de l'extrémité A vers l'extrémité B.
Choix paramétrés

Longueur d'une courbe et abscisse curviligne

Prenez la dimension n aléatoire ou
Soit C une courbe paramétrée dans C1 par morceaux d'équations paramétrées
x1 = c1(t) , x2= c2(t) , x3= c3(t)
pour . La longueur de la courbe est égale à
.

Pour des détails et une démonstration dans le cas de , voir le document Doc Longueur et intégrale curviligne .
Rappelons simplement qu'une abscisse curviligne est un nouveau paramétrage de la courbe par la longueur définie à partir du paramétrage donné t par
s(t) = .

Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs

Prenez la dimension n aléatoire ou
Définition : Soit une courbe paramétrée et un ouvert contenant . Soit F un champ de vecteurs sur . On définit l'intégrale curviligne du champ de vecteurs F=(F1 , F2 , F3 , F4 , F5 )= F1 e1 + F2 e2 + F3 e3 + F4 e4 + F5 e5 le long de comme
+ F2(c(t)) c'2(t) + F3(c(t)) c'3(t) + F4(c(t)) c'4(t) + F5(c(t)) c'5(t) ) d t
L'intégrale curviligne de F ne dépend pas du paramétrage de la courbe , mais uniquement de l'image , ce qui justifiera la notation . Elle ne dépend pas non plus du changement de coordonnées.

Indépendance par rapport au paramétrage


Un autre paramétrage de est donné par où est une bijection, dérivable, de dérivée non nulle, croissante. Ce qu'on appelle aussi un difféomorphisme conservant l'orientation de la courbe.
Calculons l'intégrale curviligne de + F2 d x2 + F3 d x3 en utilisant le paramétrage (cas d'un champ de vecteurs sur ) rechargez :

+ + ) d t
+ + ) d t
On fait le changement de variables : on obtient
= + F2(c(s)) c'2(s) + F3(c(s)) c'3(s) )d s =
Où est cachée l'utilisation de la croissance de varphi ? La formule de changement de variables est
.

L'écriture pour signifie avec . Lorsque varphi est décroissante, l'intervalle est l'intervalle . Pour varphi décroissante, on a donc la formule
.
On déduit de ce calcul que
la définition de l'intégrale curviligne a bien un sens, à condition de considérer le chemin comme orienté : "on parcourt la courbe de l'extrémité A=c(a) vers l'extrémité B=c(b)".

Changement de coordonnées

Plaçons-nous dans . Soit psi un changement de coordonnées , ) de dans un ouvert : autrement dit, on se donne une application injective de sur un ouvert (donc bijective de sur ), C1 et telle que le déterminant de
Jac
soit partout non nul sur . On dit aussi que psi est un difféomorphisme de sur .
Soit F = (P,Q) un champ de vecteurs. On applique le changement de variables , :
et F devient dans les coordonnées (X,Y)
P(x,y) d x+Q(x,y) d y =


= P1(X,Y) d X +Q1(X,Y) d Y
avec
ou encore

Théorème : On a
avec (P1,Q1) comme ci-dessus.

Exercice : Que donnent ces formules dans le cas du changement en coordonnées polaires , ? ne pas chercher à appliquer la formule précédente mais refaire le calcul dans ce cas particulier. Qu'en déduit-on lorsque alpha est de la forme d f avec f une fonction de deux variables ?

Intégrale curviligne d'une forme différentielle

Définition Soit une courbe paramétrée C1 et un ouvert de contenant . Soit une forme différentielle définie sur . On définit l'intégrale (curviligne) de la forme différentielle alpha le long du chemin comme

Autrement dit, on intègre alpha(c(t)) qui est par définition
( P(c(t)) c1'(t) + Q(c(t)) c2'(t)) dt= P(c(t)) dc1(t) + Q(c(t)) dc2(t)
entre a et b.
De même
Définition Soit une courbe paramétrée C1 et un ouvert de contenant . Soit
+ P2 d x2 + P3 d x3 + P4 d x4 + P5 d x5
une forme différentielle définie sur . On définit l'intégrale (curviligne) de la forme différentielle alpha le long du chemin comme
+ P2(c(t)) c'2(t) + P3(c(t)) c'3(t) + P4(c(t)) c'4(t) + P5(c(t)) c'5(t) ) d t
Ainsi, si est le champ de vecteurs associé à alpha, l'intégrale curviligne de alpha le long de la courbe est la circulation de le long de la courbe .
L'intégrale curviligne d'une forme différentielle le long d'une courbe est indépendante du changement de paramètre croissant et se comporte bien par changement de coordonnées .
Exercice

Flux, travail

L'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs F le long d'une courbe s'appelle aussi la circulation le long de la courbe. La circulation de F ne dépend que de la composante tangentielle de F à la courbe.
Lorsque le champ vectoriel représente un champ de forces , on parle de travail.
Le flux d'un champ F = (P,Q) à travers une courbe s'exprime aussi comme une intégrale curviligne, celle du champ (-Q , P). Ainsi, on a
Flux
En remarquant que d n=(d y,-d x) "représente" un vecteur orthogonal à d M=(d x,d y) (vecteur tangent) et que (d n, d M) forment une base directe, on voit que le flux de F à travers ne dépend que de la composante normale de F à la courbe .
Exercice

Intégration des champs de gradients

Théorème Soit un champ de vecteurs C1 et une courbe paramétrée C1 d'extrémités A = c(a) et B = c(b). Alors

C'est une généralisation du théorème
pour une fonction d'une variable (la démonstration s'y ramène d'ailleurs).
Démonstration
Faisons la démonstration pour n = 5 . On a
( D1(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t)) c'1(t) + D2(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t)) c'2(t) + D3(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t)) c'3(t) + D4(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t)) c'4(t) + D5(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t)) c'5(t) )
avec g(t)=f(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t)) .

D'où la conséquence
Théorème: La circulation d'un champ de gradient le long d'un chemin ne dépend que des extrémités du chemin.

Exemple

Exemples

Exemple : On considère une attraction proportionnelle à la distance à un point O, appelé centre d'attraction. Le champ de vecteurs F vérifie . Ainsi
F(x,y)= -m x e1 -m y e2.
Si , on a grad f = F. Donc l'intégrale curviligne de F le long d'un chemin allant d'un point A à un point B ne dépend pas du chemin et vaut . Autrement dit, le travail effectué pour aller de A à B ne dépend pas du chemin.

Exemple : On considère une attraction inversement proportionnelle à la distance à un point O. Le champ de vecteurs F vérifie donc
Il est défini sur . Si , le gradient de f est égal à F sur . L'intégrale curviligne (le travail) de F le long d'un chemin allant de A à B qui ne passe pas par le point O ne dépend que de A et de B et vaut .

Caractérisation des champs de gradients

Condition nécessaire

Prenez la dimension aléatoire
Soit F=(F1 , F2 , F3 , F4 ) un champ de gradient C1 sur un ouvert de (on dit aussi champ dérivant d'un potentiel ou champ conservatif ) sur un ouvert de . Il existe une fonction f C2 sur à valeurs dans RR telle que grad f= F. Alors on a
En effet, on a pour i et j compris entre 1 et 4,
et
par le théorème de Clairaut-Schwarz
Soit f une fonction de n variables x1,...xn qui est de classe C2, c'est-à-dire continue et admettant des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 qui sont continues. Alors, pour tout indice i et j, on a
.

Ainsi, si n=6 , on a les égalités de fonctions
, , , , , , , , , , , , , , ,
ce qui fait 15 égalités.
On aimerait avoir une réciproque. Mais cela dépend de la forme de l'ouvert.

Condition suffisante pour une boule ouverte

Prenons d'abord pour ouvert une boule ouverte.
Théorème : Si est une boule ouverte de , tout champ de vecteurs C1 vérifiant est un champ de gradient.
Démonstration

Démonstration



En faisant éventuellement une translation, on peut supposer que le centre de la boule est O. On va sortir de son chapeau une fonction f (potentiel) qui va convenir :
Cela a bien un sens, car si , le point (t x,t y) appartient aussi à puisqu'il est sur le segment [O,M]. Calculons la dérivée partielle de f par rapport à x :



Donc, . De même, . De plus, f est bien C1 (dérivées partielles continues). Ce qui termine la démonstration.

Remarques

Bien que la méthode pour trouver la fonction potentiel n'est jamais de retenir la formule par coeur, il est intéressant de comprendre ce qu'on a fait : La formule donnant f dans la démonstration est l'intégrale curviligne du champ F le long du segment joignant le point O au point M= (x,y), c'est-à-dire . Ce segment est entièrement contenu dans l'ouvert .
Pour des plus compliqués, il peut exister un champ vérifiant les conditions sur les dérivées partielles et qui n'est pas un champ conservatif : Exemple
Nous allons maintenant voir quelles propriétés on peut demander à pour que le théorème de caractérisation des champs de gradients s'applique.
Indépendamment de tous ces théorèmes, on peut toujours essayer d'intégrer : Technique d'intégration

Théorème général

Théorème : Soit F = (F1,...,Fn) un champ vectoriel C1 sur un ouvert connexe vérifiant . Si l'intégrale curviligne de F le long d'un chemin contenu dans ne dépend que des extrémités du chemin, alors F est un champ de gradients sur .
Remarques :
Démonstration : Soit A un point fixé de et P un point de On pose où on désigne par cette notation l'intégrale curviligne de F le long d'un chemin allant de A à P (par hypothèse, cela ne dépend pas du chemin).
Calculons les dérivées partielles de f en un point P0. Pour cela, on choisit une boule ouverte contenant P0 et contenue dans et on note C son centre. On a alors et on peut prendre comme chemin de C à P le segment C P. Ainsi, la fonction est exactement la fonction que nous avons défini dans la démonstration pour une boule ouverte. Comme f(C) ne dépend pas de P, les dérivées partielles de f et de g en P0 sont égales et on a donc
pour i compris entre 1 et n.

Technique d'intégration



Si F = (F1,F2,F3,F4) est un champ de vecteurs tel que Di(Fj) = Dj(Fi) pour i et j compris entre 1 et 4 , on cherche une fonction f telle que grad f = F de la manière suivante :

Mais rien ne vaut la pratique !

Exercices

Exercice : un champ de vecteurs sur R^2 est-il un champ de gradient

Exercice sur les champs de vecteurs conservatif

Exercice sur la connexité, simple connexité

Vers le rotationnel

Nous avons vu l'importance pour un champ de vecteurs F = (F1,...,Fn) des fonctions Di(Fj) - Dj(Fi) pour 1 leq i, j leq n. Au signe près, il y en a . Pour n=2 : On note et on l'appelle le rotationnel de F. C'est une fonction.
Pour n=3 : On note rot F le champ de vecteurs de donné par
D2(F3) - D3(F2), D3(F1) - D1(F3), D1(F2) - D2(F1)
ou si on prend comme variables de F = (P,Q,R) les variables x,y,z le champ de vecteurs
et on l'appelle le rotationnel de F.
Pour n > 3, on peut encore associer un champ de vecteurs à F dans dont les composantes sont au signe près les fonctions Di(Fj) - Dj(Fi) mais cela dépasse le cadre de ce cours car il faut alors abandonner les champs de vecteurs pour la notion de formes différentielles.

Théorème de Green-Riemann

Théorème de Green-Riemann

Théorème Soit une courbe C1 fermée sans points doubles entourant un domaine et orientée de manière à avoir sur la gauche. Soit F = (P,Q) un champ de vecteurs sur défini et de classe C1 sur . Alors

Autrement dit, avec et bien orientée

Il faut savoir faire la démonstration dans le cas d'un domaine du type
avec f1 et f2 deux fonctions C1 sur telles que f1(x) < f2(x).
Le théorème de Green a une application très intéressante à la mesure de surfaces planes par le biais du planimètre .

Exemples : courbes où le théorème s'applique

Exemples de courbes où le théorème s'applique

La démonstration du théorème de Green est simple dans le cas d'un domaine du type
avec f1 et f2 deux fonctions C1 sur telles que f1(x) < f2(x) (domaine de type I) Elle s'applique aussi dans le cas d'un domaine du type d'un domaine du type
avec f1 et f2 deux fonctions C1 sur telles que f1(y) < f2(y) (domaine de type II) On peut aussi l'appliquer à des domaines formés de juxtaposition de domaines de type I ou de type II : par exemple
Mais on peut aussi l'appliquer à des courbes du type suivant
à condition de bien orienter la courbe : la courbe extérieure est orientée dans le sens "trigonométrique, la courbe intérieure dans le sens inverse.

Théorème du flux-divergence

Définition : Si F = (P,Q) est un champ de vecteurs C1, on appelle divergence de F et on note div F la fonction scalaire
div .

Théorème : Soit une courbe C1 fermée sans points doubles entourant un domaine et orientée de manière à avoir sur la gauche. Soit F = (P,Q) un champ de vecteurs sur définie et de classe C1 sur . Alors,
.

En changeant P en -Q et Q en P, on obtient
.

Or, si le vecteur d M tangent à la courbe "est" (d x,d y), le vecteur normal à la courbe sortant "est" et forment une base directe (pour passer de à d M, on tourne dans le sens trigonométrique) ce qui donne le théorème du flux-divergence en dimension 2.

Exercices autour du théorème de Green

Exercice sur la connexité
Exercice sur les hypothèses du théorème de Green
Exercice sur la démonstration du théorème de Green

Conséquences

Théorème : Si F est un champ de vecteurs de défini sur de rotationnel nul et si est une courbe fermée dans , sans points doubles bordant un domaine D contenu dans , alors l'intégrale curviligne de F le long de est nulle.

Dans le théorème précédent, certaines hypothèses ne sont pas fondamentales. Par exemple, on imagine bien comment en déduire un résultat similaire pour la courbe suivante qui a un point double
Par contre, l'hypothèse que non seulement la courbe soit contenue dans , mais que le domaine qu'elle entoure soit aussi contenue dans est essentielle : revoir l' Exemple .
.
Définition : Un ouvert est dit connexe (par arcs) si deux points quelconques de peuvent être reliés par un chemin entièrement contenu dans .

Définition : Un ouvert est dit simplement connexe (par arcs) s'il est connexe et si de plus toute courbe fermée sans points doubles dans entoure un domaine entièrement contenu dans .

Ainsi, si est un ouvert simplement connexe de , l'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs de rotationnel nul le long d'un chemin ne dépend que des extrémités du chemin. On en déduit grâce à ce théorème
Théorème : Si est un ouvert simplement connexe de , tout champ de vecteurs C1 dont le rotationnel est nul est un champ de gradient.

Calcul d'aires

Soit une courbe C1 fermée sans points doubles entourant un domaine . Choisissons un champ de vecteurs F dont le rotationnel est égal à 1, c'est-à-dire , on a alors

On a donc ramené un calcul d'aire à un calcul d'intégrale curviligne. Par exemple, les champs de vecteurs donnés par , (-y,0) ou (0,x) conviennent.
D'où les formules :



Prenons par exemple un domaine défini par , pour une fonction f positive. Des trois formules précédentes, c'est la seconde qui est la plus intéressante pour ce domaine : l'intégrale curviligne est nulle sur les deux bords verticaux, elle est nulle aussi sur le bord horizontal inférieur car on a alors y = 0. Donc , si C1 est la courbe y = f(x), ,

Ainsi, la formule de Green est une généralisation de la formule reliant l'intégrale d'une fonction positive avec l'aire du domaine associé.

document sur l'intégration et théorèmes classiques (théorème de Green-Riemann).
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