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OEF Formes bilinéaires
OEF Formes bilinéaires
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les formes bilinéaires et formes quadratiques.
Base de vecteurs propres
Soit
la forme quadratique définie, pour
, par
.
La matrice
associée à
dans la base canonique est :
Entrer la matrice ligne par ligne, les coefficients d'une même ligne sont séparés par des virgules.
La matrice de
dans la base canonique est bien
.
L'ensemble des valeurs propres de la matrice
est
.
Les valeurs propres de la matrice
sont bien
.
Donner une base orthogonale par rapport à Q et orthonormée par rapport au produit scalaire usuel de
.
Entrer en colonne les composantes des vecteurs de la base , séparées par des virgules.
Formes bilinéaires
Soit
l'application définie par
avec
et
.
L'application
est-elle une forme bilinéaire symétrique ?
Formes bilinéaires, formes quadratiques
Soit
la forme quadratique suivante :
.
Déterminer parmi les choix suivants l'unique forme bilinéaire symétrique
telle que
pour tout
dans
.
A :
B :
C :
Formes bilinéaires et matrices
Pour rentrer la matrice, écrire les coefficients ligne par ligne : les coefficients d'une même ligne sont séparés par des virgules.
Invariants d'une conique
Soit la conique
.
Soit
.
La forme quadratique
est-elle
ou
Déterminer le centre
de la conique et le réel
tel que
Ainsi dans le repère affine dont l'origine est le centre ( , ) de la conique, la conique a comme équation
Déterminer la signature de
.
Une des valeurs propres de
est 0. Calculer la seconde valeur propre et donner une base de vecteurs propres
vérifiant les conditions suivantes :
est un vecteur propre unitaire pour la valeur propre 0 dont la première composante est positive
forment une base orthonormée.
Soient
les coordonnées dans la base ( , ). Déterminer
et
pour que
.
La conique
a comme équation
.
Quelle est la nature de la conique
?
Formes quadratiques équivalentes
Soit
la forme quadratique définie, pour
, par
Indiquer laquelle des formes quadratiques suivantes est équivalente à
Rang d'une forme quadratique
Soit
, la forme quadratique définie pour
par
La signature de Q est
et son rang vaut
. Voici la matrice de
sous forme utilisable dans les outils : .
Réduction de Gauss
Soit
la forme quadratique définie pour
par
Déterminer une décomposition de Gauss de
Entrer les formes linéaires en ligne en séparant les coefficients d'une même ligne par des virgules :
Entrer les
dans le même ordre, séparés par des virgules :
Signature d'une forme quadratique
Soit
, la forme quadratique définie pour
par
Déterminer les valeurs propres de la matrice
associée à
.
Calculer sa signature de Q.
Voici la matrice de
sous forme utilisable dans les outils : .
Signature et rang
Soit
une forme quadratique sur
.
La signature de
est
et son rang vaut
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Description: collection d'exercices sur les formes bilinéaires et formes quadratiques. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, mathematics, algebra,, quadratic_form,rank,bilinear_algebra
l'application définie par