Changement de variables

Objectifs

La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. On peut aussi se compliquer la vie inutilement si on l'applique de travers.

Guide

Le théorème

Théorème : Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle . Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Cas où le changement de variables est évident

On doit calculer ; on voit que x apparaît toujours par l'intermédiaire d'une expression plus complexe et de sa dérivée :
,
on fait alors le changement de variable : On applique à la fonction f le théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle . Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :
Concrètement, on vérifie que la fonction varphi est C1 sur et on remplace
par u
par du
les bornes a et bpar et .
On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .

Remarque : Quand x vaut a, la nouvelle variable vaut ...
Exemple

Exemple


Pour voir le théorème en même temps.
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle . Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Calculons dx. La fonction à intégrer est de la forme f(cos(x)) où est la dérivée de et où f est la fonction définie par f(u)= u3. On fait donc le changement de variable u=cos(x) :


On obtient donc :
.

Cas où le changement de variables n'est pas évident

On peut aussi utiliser la formule du théorème
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle . Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :
de la droite vers la gauche. Pour calculer où f est une fonction continue sur , on a envie de poser .
Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de varphi. Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle tel que On peut alors appliquer le théorème
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle . Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :
pour faire le changement de variable :
.
Concrètement, une fois choisie la fonction varphi : On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .
Remarque :
Exemple typique Exercices corrigés

Exemple typique

Pour voir le théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle . Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

On veut calculer l'intégrale . On a envie de poser x=cos( t) et de prendre comme fonction varphi la fonction définie par sur un intervalle à déterminer.

On dit ici que l'on fait le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 0 et pi. Il ne reste plus qu'à finir les calculs.

Sur l'intervalle [0,pi], la fonction sin est positive, on a donc :

Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues a=9pi et b=10pi, la fonction sinn'aurait pas été positive entre 9pi et 10pi et le calcul aurait été moins simple !

Exercices corrigés

Exercice : Vous voulez calculer l'intégrale . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 4pi et ? Que vaut l'intégrale transformée ?
Solution
Oui, le théorème s'applique :
  • la fonction définie sur l'intervalle [ ] par varphi(t)=cos(t) est C1.
  • Son image est contenue dans l'intervalle [-1,1]. On a
    , cos(4pi)=1
  • La fonction f définie sur [-1,1] par est continue sur [-1,1].
L'intégrale I est égale à

Bien que correct, le choix de cet intervalle est tout à fait déconseillé car la suite des calculs serait très compliquée puisqu'il faudrait séparer en intervalles où sin est de signe constant pour calculer .
Exercice : Soit . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=Arctan(2t) ? Que choisirez-vous pour les bornes a et b de la nouvelle intégrale ?
Solution
Non, je ne peux pas trouver de nombres a et b vérifiant les deux conditions suivantes
  • Arctan(a)=0, Arctan(b)=pi
  • la fonction est définie et C1 sur l'intervalle (ou ).

Par contre en transformant astucieusement, on peut utiliser dans ce cas le changement de variable dit évident ou conseillé, c'est-à-dire transformer 1/(2+cos(x)) par les formules de trigonométrie jusqu'à tomber sur une expression de la forme . Sur quel intervalle peut-on alors prendre comme fonction varphi la fonction donnée par ?

Changement de variables dans une primitive

Pour le calcul de la primitive sur l'intervalle (avec ), on applique le changement de variable si on peut Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable varphi bijectif sur afin de pouvoir considérer la fonction réciproque psi de varphi sur .
Concrètement,
La primitive F est alors définie sur et on a en tout point x de
Exemple :
Le changement de variable u=cos(t) appliqué à t compris entre et Arccos(x) donne (par définition de Arccos, sin(t) est toujours positif ou nul pour t compris entre et Arccos(x)) :

Exercices interactifs

Exercice : Dérivation d'une intégrale fonction des bornes

Exercice : Intégration interactive : changement de variables

document sur les méthodes d'intégration.
: integral, primitive,subst_integral, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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