Ensembles
Objectifs et conseils
Ce cours est une introduction à la théorie des ensembles. Ensuite, pour les fonctions et les applications, consultez le cours Doc Fonctions, applications
- Définitions
- Opérations sur les ensembles
- Cardinal
Ensembles
Définition "intuitive". On dit, traditionnellement, qu'un ensemble, noté par exemple E, est une collection, un regroupement d'objets appelés éléments.
Notations. L'assertion " a appartient à E '' se note . L'assertion " b n'appartient pas à E'' se note .
Un ensemble peut se définir
- soit en extension : en donnant la liste de tous ses éléments, si c'est possible, souvent entre deux accolades, par exemple .
- soit en compréhension en donnant une propriété qui caractérise ses éléments, par exemple F est l'ensemble des entiers pairs.
En particulier, un ensemble à un seul élément a est appelé un singleton, noté alors .
- ]1,3], , , les irrationnels, les solutions d'une équation...
- .
- L'ensemble des termes d'une suite . Il est noté .
- Le graphe d'une application f d'un ensemble E dans un ensemble F, c'est-à-dire l'ensemble
Ensemble vide, sous-ensemble
Remarques.
- Les inclusions et sont évidentes.
- est inclus dans tout ensemble.
- Appartenance/inclusion : ensembles d'entiers 1
- Intervalles
- Appartenance/inclusion : ensembles d'entiers 2
Produit cartésien, partition
et
Le produit cartésien , avec A = [1 , 4 ] et B = [2 , 6 ] est la partie grise de cette représentation graphique.
On généralise cette définition au produit cartésien de n ensembles :
- Produit cartésien 1
- Produit cartésien 2
- Produits cartésien de trois ensembles
Partition d'un ensemble
- Pour , il n'existe que 5 partitions possibles :
- Pour , voici un exemple de partition, formée de trois parties :
- Pour , la partition : est constituée d'une infinité de parties.
La figure ci-dessous est une représentation graphique d'une partition de , comme dans l'exemple 2.
- La partie { (la courbe) est en rouge,
- La partie { est en rose,
- La partie { est en violet.
Union, intersection, complémentaire : définitions
Voici trois opérations importantes dans la théorie des ensembles.
La réunion de E et F est notée .
L'ensemble est schématisé par la zone grise :
L'intersection de E et F est notée .
L'ensemble est schématisé par la zone grise :
Le complémentaire de E dans W est noté . On sous-entend W quand il n'y a pas d'ambiguité, on note alors aussi : ou .
L'ensemble Ac est schématisé par la zone grise :
Exemples et exercices dans la page suivante.Union, Intersection, complémentaires, exemples, exercices
- Pour , on a .
- Si A est une partie de l'ensemble E, alors on a : et .
Pour (dessiné en brun), E = [6 , 11] et F= [-1 , 8], la réunion est l'intervalle (sur la figure ) et l'intersection l'intervalle .
Dans le plan blanc, E est le disque bleu et F le carré rouge ; la réunion est la partie colorée du plan, l'intersection est la partie violette.
Différence, différence symétrique
Les opérations définies à la page précédente permettent de définir deux nouvelles opérations :
La différence de E et F est notée et se lit " E privé de F ".
et
On vérifie facilement l'égalité .
La différence symétrique de E et F est notée .
On vérifie facilement l'égalité : = = .
Exercices
Il est important de bien comprendre graphiquement de quoi il s'agit. Par exemple, si on vous donne trois sous-ensembles A, B et C d'un ensemble W, savez-vous reconnaître ou ?
- Complémentaires
- Union et intersection
- Différence
- Opérations combinées
- Différence symétrique
- Opérations sur des diagrammes
- Appartenance/Inclusion et opérations sur les ensembles
Ces exercices en ligne vous permettent de vous entraîner graphiquement aux notions d'union, d'intersection, de complémentaire de sous-ensembles.
- Soit on vous présentera graphiquement un sous-ensemble et il vous sera demandé de reconnaitre l'écriture ensembliste correspondante : série 1 ou série 2
- Soit on vous donnera une écriture ensembliste à l'aide des opérations d'union, d'intersection et de complémentaire et vous demandera de la reconnaitre graphiquement : Sous-ensembles graphiques
Associativité et distributivité
Voici deux propriétés essentielles de la réunion et l'intersection:Associativité de l'union, de
l'intersection.
Si
E,
F et
G sont trois
sous-ensembles de
W, les deux égalités suivantes sont vraies :
Distributivité entre union et
intersection.
Si
E,
F et
G sont trois
sous-ensembles de
W, les deux égalités suivantes sont vraies :
- Union, intersection, complémentaire sur des ensembles explicites
- Manipulation 1
- Manipulation 2
Quelques problèmes concrets
Dans une grande librairie, trois employés ont les attributions suivantes :
- Jean s'occupe des livres politiques et des romans étrangers reliés.
- Pierre s'occupe des livres politiques reliés et des romans anglais qui ne sont pas politiques.
- Henri s'occupe des livres anglais et des romans politiques non reliés.
- Quels sont les livres sous la compétence des trois employés ? de deux ? d'aucun ?
- Mettre le problème sous forme mathématique.
Cardinal
= + -
Dans ce qui suit A et B sont des ensembles finis.
- Si , alors .
- Si , et , alors
- .
- Si E est un ensemble fini à n éléments c'est-à-dire , on note : l'ensemble de toutes les parties (de tous les sous-ensembles) de E et on a le résultat :
Cardinaux : exercices pratiques
- Décrire l'ensemble :
({1}))
Solution({1}) = { }
({1}) ) = { , , { }, { } }
On notera que l'on a noté l'ensemble vide de deux façons, sans accolade lorqu'il s'agit de l'ensemble vide, avec accolade lorsqu'il s'agit de l'élément "ensemble vide", figurant dans ({1}). - On considère deux sous-ensembles
A et
B d'un ensemble fini
E.
On note
n (resp.
a, b) le cardinal de
E (resp.
A, B). On suppose de plus que
a est plus grand que
b.
- Donner un majorant de en fonction de a, b et n. Même question pour .
- Donner un minorant de en fonction de a, b et n. Même question pour .
- Utiliser la
formule fondamentale
deux fois pour donner
une formule pour
Solution
- La maîtresse récompense ses élèves avec des caramels
ou des bonbons à l'anis (uniquement s'ils ont bien travaillé !).
A est l'ensemble des élèves aimant les bonbons à l'anis,
C est l'ensemble des élèves aimant les caramels.
On donne :
, , , .Quel est l'effectif de la classe ?
- (Le lemme des tiroirs) :
Montrer que dans le groupe des étudiants de licence, il y au
moins deux étudiants qui ont le même nombre d'amis dans ce groupe.
On considère qu'on est ami avec soi-même et si Jean est ami avec Pierre, alors Pierre est ami avec Jean.
On rappelle le principe des tiroirs (énoncé par Dirichlet) : si l'on doit mettre n chaussettes dans p tiroirs et que n>p, alors un tiroir contient strictement plus d'une chaussette. En d'autres termes, l'application qui à chaque chaussette associe le tiroir où elle se trouve n'est pas injective.- Prendre pour premier ensemble l'ensemble des étudiants (de cardinal n), et pour le second l'ensemble des nombres d'amis que peut avoir chaque étudiant (un nombre nécessairement inférieur ou égal à n).
- Que se passe-t-il si un étudiant est ami avec tout le monde ? Quelles valeurs p peut-il prendre ?
- Que se passe-t-il si personne n'est ami avec tout le monde ? Quelles valeurs p peut-il prendre ?
Effectifs des classes de langues