Fonctions, Applications

Sommaire

Ce document est une introduction à la théorie des fonctions. Il fait suite au Doc Ensembles . Nous revenons aussi sur les propriétés des applications. Le DOC Raisonnements est utile à la lecture de certaines parties de ce cours.

  1. Généralités
  2. Image, composition de fonctions
  3. Injection, surjection, bijection
  4. Propriétés graphiques
  5. Bibliographie

Fonction (définitions)

Définitions.

On appelle fonction f la donnée d'un ensemble E, d’un ensemble F et d’un « procédé » qui permet d’associer à un élément x de E au plus un élément y = f(x) de F. Cet élément y, quand il existe, est l’image de x, et x est appelé un antécédent de y.

On appelle E l'ensemble de départ de f, F l'ensemble d'arrivée de f.

L'ensemble de définition d'une fonction f, noté souvent Df, est la partie de l'ensemble de départ E dont les éléments admettent des images par f.

Dans les pages suivantes, on explicite différentes façons de définir une fonction.

Tableau, Diagramme sagittal

Diagramme sagittal

Pour des ensembles finis, on peut dessiner deux "patates" représentant les ensembles E et F, et, lorsqu'un élément y de F est l'image d'un élément x de E, tracer une flèche de cet élément x de E vers l'élément y de F. Plus élégamment, on parle de diagramme sagittal.
Exemple de diagramme sagittal.

Ce diagramme définit la même fonction que le tableau ci-dessous.

Tableau

Toujours pour des ensembles finis, on peut définir une fonction par un tableau avec les éléments de E dans la première colonne, ceux de F dans la première ligne en mettant une croix ou un signe dans le tableau, à l'intersection d'une ligne et d'une colonne, lorsque deux éléments de E et de F sont en relation par f.
Le tableau ci-dessous représente une fonction f de vers . Ainsi a a pour image s par f (ce que l'on a matérialisé par une étoile ici), b a pour image q, etc..., et c n'a pas d'image.
Exemple de tableau.

Représentation graphique

Définitions.

Exemple : Scénario cinématique.

Un cycliste roule pendant une heure à 10 km/h, puis à 5 km/h l'heure suivante et enfin à 2,5 km/h les deux heures suivantes. La fonction qui associe au temps t la distance parcourue est donnée par la représentation graphique suivante ; l'axe des abscisses est gradué en heure et l'axe des ordonnées en kilomètres.

figure

Définition. Soit une partie A d'un ensemble E. On appelle fonction indicatrice de A la fonction, notée 1A, définie sur E à valeurs dans , par : 1A(x) = 0 pour et 1A(x) = 1 pour .
Exemple. Pour , partie de , la représentation graphique de 1A est :

figure

Fonction définie par des formules

Fonction numérique de variable réelle

On peut définir une fonction numérique f de dans en donnant pour la variable réelle x une formule pour calculer le réel f(x).

Exemple.

pour .
Que valent ?

; n'est pas défini.

Cette fonction admet la représentation graphique suivante :

À partir de la représentation graphique d'une fonction, on peut retrouver les formules la définissant.

On donne la représentation suivante définissant l'évolution d'un phénomène.

Donner les formules définissant la fonction sur chaque intervalle.

On rappelle que l'équation de la droite passant par les deux points A=(xA,yA) et B=(xB,yB) est : .


f(x)= 0 pour
f(x)= x+2 pour
f(x)= -3x+6 pour
f(x)= x-2 pour
f(x)= -2x+7 pour
f(x)= 0 pour

Applications

Définition. On appelle application d'un ensemble E dans un ensemble F une fonction de E dans F telle que tous les éléments de E aient une image dans F. Son domaine de définition et son ensemble de départ coïncident donc.
Remarques.
Exemple 1 : Application et tableau.
Dans l'exemple défini par Tableau, Diagramme sagittal , la fonction f de vers devient une application si l'on prend pour ensemble de départ ( son ensemble de définition).

Exemple 2 : Application et représentation graphique.

On considère la fonction de dans , définie par .
Comment modifier l'ensemble de départ de la fonction g pour la transformer en une application ? Tracer sa représentation graphique sur ce nouveau domaine de définition, dans un repère orthonormé.

Si on remplace l'ensemble de départ de la fonction g par son domaine de définition [-2,2], g devient une application.
Les coordonnées (x,y) des points de la représentation graphique vérifient l'égalité , équivalente à y2=4-x2 et . On reconnaît l'équation du demi-cercle de centre (0,0) de rayon 2, dans le demi plan . Voici la représentation graphique de g :

Exemple 3 : Application du plan affine. Dans le plan affine, une symétrie centrale par rapport à un point O est une application du plan dans lui-même.
Sur le dessin ci-dessous, le point M' est l'image du point M par la symétrie centrale de centre C, et le F vert est l'image du F bleu.Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

Rappel : Définition et propriétés d'une symétrie centrale
Exercice.
Diagramme sagittal d'une application

Restriction d'une fonction.

Définition. Si f est une application de E dans F, et A une partie de E, on définit l'application notée , définie sur A, à valeurs dans F telle que . On dit alors que est la restriction de f à A. On la note aussi parfois (lire "f tilde").
Remarques:
  1. Pour transformer une fonction f de E vers F en une application, on prendra sa restriction, notée par exemple, à l'ensemble de définition Df de f. Si f est une fonction f de E vers F, est une application de Df vers F.
  2. On notera bien que f et ne sont pas les mêmes objets mathématiques (bien que l'écriture f(x)=... soit la même) puisque leurs ensembles de départ sont différents.
  3. On a souvent besoin de ne conserver de l'ensemble de définition d'une fonction qu'une partie où elle est strictement monotone (voir Théorèmes sur la bijection ). On prendra donc sa restriction à une partie judicieusement choisie. Par exemple, pour la fonction définie sur par f(x)=x2 , on prendra sa restriction à où elle est strictement croissante. (On pourrait prendre, de la même manière, sa restriction à , où elle est strictement décroissante).
  4. Dans GeoGebra, la syntaxe pour afficher la restriction, à l'intervalle [ -1,1] par exemple, de la fonction, définie sur par f(x)=x2 , est

    f(x)=x2 ,(-1<x<1) ou Si (-1 < x < 1, x2 )

Représentations graphiques :
On a tracé ci-dessous les courbes représentatives de la fonction définie a priori sur par f(x) = x2(2-x) (en violet), puis celles de ses restrictions et , respectivement aux intervalles [ 0,1] (en bleu), puis [ -1,2] (en marron).

Image d'une fonction

Définition. Soit f une fonction de E dans F, on appelle image de f, notée ou f(E) la partie de l'ensemble d'arrivée F dont les éléments ont au moins un antécédent par f, c'est-à-dire l'ensemble défini par :

Remarque. On veillera à ne pas confondre deux choses portant un peu le même nom :

  1. l’élément y, image de l’élément x par la fonction f, c'est-à-dire y=f(x) ; l’élément y est un élément de F
  2. La partie de l'ensemble d'arrivée de la fonction f appelée image de la fonction f. C'est un ensemble, une partie de F.

Illustrations graphiques. Dans les deux figures ci-dessous, on a indiqué en rouge les images de deux fonctions, l'une f1 donnée par son diagramme sagittal, l'autre f2 définie sur par par sa représentation graphique.

Exemples.
  1. Dans l'exemple de la page Tableau, Diagramme sagittal ,
  2. , définie par: . .
  3. , définie par: . Le minimum de la fonction est obtenu pour . L'ordonnée du minimum est d'où
  4. Pour f : , , on a .
    Choisissons , a priori quelconque, dans l'ensemble d'arrivée et cherchons ses antécédents, s'il en a. Ce sont des couples (x,y) solutions de l'équation à deux inconnues x et y : .
    • Choisissons pour x une valeur fixée quelconque dans . En remplaçant dans l'équation, on obtient pour y une valeur : . Le couple (x0, y0) est donc une solution de l'équation et un antécédent de , quel que soit .
    • On peut aussi choisir d'abord arbitrairement y1 dans .
      • Cas : on peut prendre dans l'équation de départ y1=0 et x1 quelconque dans .
      • Cas : l'équation conduit à .
        On peut donc prendre y1 quelconque dans et .
    Dans tous les cas, le couple (x1, y1) est une solution de l'équation et un antécédent de , quel que soit .
    En définitive on obtient
Exercices.
  1. Image d'une application donnée par un tableau . On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini est son nombre d'éléments distincts.
  2. Image par un polynôme
  3. Pour les fonctions suivantes, de dans , déterminer .
    2. Solution : ,
  4. Soit f l'application de dans , définie par f(p,q)=p2-q.
    Quelles sont les images des couples (1,2) et (0,4) ? -5 a-t-il des antécédents?
    Les images : f(1,2) = -1, f(0,4) = -4.
    Le nombre -5 a pour antécédents les couples (p,q) tels que p2-q= -5. En choisissant arbitrairement par exemple p = t avec , on en déduit q = t2+5. Comme pour tout t dans , le nombre t2+5 est aussi dans , l'ensemble des antécédents de -5 est : S = { }

Image réciproque d'un ensemble par une fonction

Définition.

Soient une application f de E dans F et B une partie de F, on appelle image réciproque de B , notée , la partie de E définie par : .

Autrement dit, l'image réciproque de B est l'ensemble des antécédents des éléments de B.

Exemples.
  1. Dans l'exemple du tableau et du diagramme sagittal, on a : , , ,
  2. , définie par: f(x)=x2-2x, ( ).
    1. Pour déterminer , on résout dans l'équation x2-2x =8. On obtient deux solutions : 4 et -2. Donc on a : .
    2. Déterminer . La fonction s'annule pour x=0 et x=2 et est du signe du coefficient de x2 (positif) à l'extérieur des racines ( théorème sur le signe du trinôme ), donc on obtient : .
  3. Considérons la restriction à l'intervalle de la fonction f définie sur par . On pose : A=(0,1) et B=(0,2).
    L'image réciproque du segment de l'axe Oy est la réunion des trois segments rouges :

Exercices.
  1. Pour les fonctions suivantes, de dans , déterminer .
    1. f(x) = 2x+1
    2. f(x) = xn (On discutera suivant les valeurs de )
  2. Image réciproque d'un intervalle Aide
  3. Comparer \(f(f^{-1}(I))\) et \(I\) , I étant un intervalle.
  4. Comparer \(f^{-1}(f(I)) \) et \(I\) , I étant un intervalle.

Composée de fonctions

Définition.

Soient E, F et G trois ensembles, f une fonction de E dans F et g une fonction de F dans G, f suivie de g. On appelle composée des fonctions f et g, notée (lire " g rond f"), la fonction de E dans G, définie pour et , par

Exemples.
  1. Exemples graphiques de composition
  2. Soient f et g les applications de dans définies par f(x) = -x2 et g(x) = x+2. La composé de f et g, ainsi que celle de g et f, sont possibles.
    • est définie sur par .
    • est définie sur par .
    On remarque que les deux composées sont différentes. La loi de composition des fonctions n'est pas commutative.
  3. Soit f l'application de dans , définie par : f(x) = x2-1 et g l'application de dans , définie par : .
    • De l'équivalence , on déduit que l'ensemble de définition de est alors est l'application de dans , définie par : .
    • est l'application de dans , définie par : .
  4. Soit f l'application de dans , définie par : f(x) = ln(x) et g l'application de dans , définie par : .
    • est l'application de dans , définie par :
    • n'est pas définie, car l'ensemble d'arrivée de la première application g est = ] , -1], lequel n'est pas inclus dans l'ensemble de définition de f qui est .
  5. Décomposition sous diverses formes

Remarque. On ne peut pas toujours composer des fonctions. Considérons la fonction f de dans , définie par f(x) = x2 et la fonction g définie par . L'ensemble d’arrivée de f est , l'ensemble de départ de g est . On ne peut pas composer f et g.

Exercices.
  1. Calcul d'image par \(g \circ f\)
  2. Composition et enchainement
  3. Composition et ensemble de définition

Exemples graphiques de composition

Soient trois ensembles , et . On considère f une fonction de E dans F et g une fonction de F dans G, représentées par leurs diagrammes sagittaux ci-dessous.

Les représentations graphiques de sont données ci dessous, la première en montrant les deux étapes, la seconde en "oubliant" l'ensemble F puisque est une application de E dans G.

Injection

Définition. Soient E et F deux ensembles.

Remarques.
  1. Dans le cas d'un diagramme sagittal, une fonction n'est pas injective si deux flèches arrivent sur le même élément de l'ensemble d'arrivée. Lorsqu'on a fait un tableau, la fonction n'est pas injective lorsqu'il y a deux étoiles dans la même colonne. C'est le cas dans cet exemple .
  2. En prenant le restriction d'une fonction f à une partie de son ensemble de départ, on peut rendre celle-ci injective, si elle ne l'est pas.
    Ainsi f en tant que fonction de dans , définie par f(x) = x2 n'est pas injective, mais sa restriction à l'est.
    L'injectivité d'une fonction dépend essentiellement de son ensemble de départ.
  3. Soit f une application de E dans F. Si E et F sont deux ensembles finis et qu'on ait , alors l'application f n'est pas injective.
  4. Dans le cas d'une fonction donnée par une formule, on résout dans E, pour un y quelconque dans F, l'équation d'inconnue x : y=f(x).
    Si, pour tout y dans F, elle admet au plus une solution dans E, alors f est une injection de E dans F.
  5. Graphiquement, une fonction est injective si et seulement si toute droite horizontale coupe la courbe représentative de cette fonction en au plus un point.
    Dans l'exemple et le dessin ci-dessous, la courbe verte, courbe représentative d'une fonction f, est coupée en quatre points A, B, C et D par la droite d'équation y = 2, la fonction f n'est donc pas injective sur la partie de l'axe O x du dessin. Les antécédents de 2 sont les abscisses des quatre points A, B, C et D.

Injection, exemples, exercices

Pour prouver qu'une application f est injective, on utilise souvent la proposition contraposée ( rappel ici ) de la définition formulée avec des quantificateurs. Cette proposition contraposée s'écrit :

Exemple. Montrons que l'application de dans , définie par f(x) = 2x+1 est injective.
Première méthode. Soit , résolvons l'équation (d'inconnue x) : y=2x+1. On trouve une (unique) solution . La fonction f de dans est donc injective.
Deuxième méthode. s'écrit : 2x+1=2y+1 qui conduit bien sûr à x=y. L'injectivité est donc établie.
Pour une preuve de la non injectivité d'une application f, on montre la négation de la définition en exhibant un exemple :

f(x) = f(y)

Exemples.
  1. Montrons que l'application de dans définie par n'est pas injective.
    Prenons x = 0 et y = 2pi. On vérifie les relations : et f(x)= f(y)=0.
    Le nombre 0 a deux antécédents. L'application f n'est pas injective.
  2. Montrons que l'application de dans , définie par f(x1,x2) = x12+2x2 n'est pas injective.
    Prenons (x1 = 1 , x2 = -1) et . On vérifie les relations : et f (x1,x2) = f(y1,y2) = -1).
    Le nombre -1 a deux antécédents. L'application f n'est pas injective.
Exercices.
  1. Injectivité de \(g \circ f\)
  2. Injectivité de \(f \circ g\)
  3. Injectivité de \(g \circ f \circ h\)

Surjection

Définition. Soient E et F deux ensembles.
On dit qu'une application ou une fonction f de E dans F est surjective ou une surjection de E dans F, si tout élément de F admet au moins un antécédent dans E, ce qui s'écrit avec des quantificateurs :

Remarques.
Exemple 1. Voici deux fonctions de X dans Y et de X1 dans Y1. La première n'est pas surjective, la seconde l'est.

Exemple 2. Posons . A priori, on définit ici f une fonction de dans . Elle devient une application si l'on restreint son ensemble de départ à .
Soit y quelconque dans , l'équation , avec est équivalente à (y-2) x=y+1, puis, si y est différent de 2, à .
Tout y différent de 2 a donc un antécédent et f est une surjection de sur
Exercices.
  1. Surjectivité de \(g o f\)
  2. Surjectivité de \(f o g\)
  3. Surjectivité de \(g o f o h\)

Bijection

Définition.
Remarques.
  1. Si E et F sont deux ensembles finis tels que , f ne peut pas être bijective.
  2. Si la bijection est donnée par un tableau, ce tableau possède autant de lignes que de colonnes et on n'observe qu'une seule étoile sur chaque ligne et sur chaque colonne. (Voir ici)
  3. Si la bijection est donnée par un diagramme sagittal, de chaque élément de l'ensemble de départ part une flèche et une seule, et chaque élément de l'ensemble d’arrivée est atteint par une flèche et une seule. (Voir ici)
  4. Pour une application donnée par une formule, pour un y quelconque dans F on peut résoudre dans E l'équation (d'inconnue x) y=f(x).
    Si, pour tout y dans F, cette équation admet exactement une solution dans E, alors f est une bijection de E dans F
Exemples.
  1. Un exemple concret : L'application qui à une quantité d'essence achetée associe le prix payé est une bijection.
  2. La fonction de dans , définie par f(x) = x2 n'est, on l'a vu, ni injective, ni surjective. En prenant sa restriction à , elle devient une application injective de dans qui n'est pas surjective. Comme l'équation y = x2 admet dans une unique solution ( ), quel que soit y dans , elle devient bijective en tant qu'application de dans .
    [De la même façon on aurait prouvé que c'est une application bijective de dans ].
  3. Soit C un point d'un plan ; la symétrie centrale de centre C est une bijection de dans . Le point C a pour antécédent C, et tout point de a pour antécédent le point M' de , unique symétrique de M par rapport à C.
  4. Considérons l'application de (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2) dans (vecteurs de l'espace), qui à tout polynôme P(X)= a0 + a1 X +a2 x2 associe le vecteur de coordonnées (a0 , a1,a2). C'est ici un théorème, l'unicité de l'écriture d'un polynôme, qui fournit le caractère bijectif de cette application.
Exercice. On considère la fonction de dans définie par . Est-ce une bijection ? Comment la rendre bijective ?

Elle est définie sur , à valeurs dans et un coup d’œil rapide sur une calculatrice graphique fournit une idée du résultat et de bons éléments de réponse !
Soit y un réel quelconque strictement positif. Cherchons des solutions à l'équation . On obtient : . La fraction doit être positive ce qui conduit à imposer . Si l'on suppose cette double inégalité vérifiée, l'équation admet alors deux solutions .
Si l'on restreint l'ensemble de départ à (ou !), cette équation n'a plus qu'une seule solution, et ceci quel que soit y dans l'intervalle
Conclusion : l'application est une bijection de (ou !) dans .

Exercice dans une situation "concrète".

On demande à un groupe de personnes de laisser leur téléphone dans une boite à l'entrée d'une salle. On note P l'ensemble des personnes, T l'ensemble des téléphones. On s'intéresse au processus f qui met en relation une personne de P à son ou ses téléphones dans T.
Que faut-il supposer sur P et T pour que f soit une fonction ? une application ? une injection ? une surjection? une bijection?

  1. f est une fonction à condition qu'aucune personne n'ait plus d'un téléphone...
  2. f est une application si tout le monde a un téléphone.
  3. f est une injection si aucun téléphone n'est partagé entre deux personnes...
  4. f est une surjection, sauf si la veille quelqu'un, n'appartenant pas à ce groupe, a oublié son téléphone dans la boite...
  5. f est une bijection si la boîte est vide au départ et si chacun a exactement un téléphone personnel.
Exercices.
  1. Reconnaissance d'applications 1
  2. Reconnaissance d'applications 2
  3. Tracé graphique d'applications
  4. Relations entre les notions d'injectivité, surjectivité et les cardinaux
  5. Relations, applications, injectivité, surjectivité et bijectivité

Exemples graphiques de bijection

Exemple de représentation graphique d'une bijection d'un ensemble vers un ensemble , donnée sous forme d'un diagramme sagittal.

Exemple de représentation graphique d'une bijection d'un ensemble vers un ensemble , donnée sous forme d'un tableau.

Théorèmes sur la bijection

Théorème important.
Si f est une application strictement monotone sur un intervalle I de , alors f est une bijection de I sur f(I).
En d'autres termes, pour tout y0 de f(I), l'équation f(x) = y0 admet une unique solution x0 dans I.

Graphiquement, cela se visualise bien. Si la fonction n'est pas monotone, un réel y0 de f(I) peut avoir plusieurs antécédents et la fonction n'est pas bijective, comme le montre le troisième dessin.

courbe pour une fonction monotone courbe pour une fonction non monotone


Cas particulier des fonctions dérivables.
Théorème.
Soit f une application dérivable sur un intervalle I de . Si, pour tout x dans I, la dérivée f' est, soit toujours strictement positive, soit toujours strictement négative, alors c'est une bijection de I sur f(I).
.

Bijection, bijection réciproque

Propriété.

Soient E et F deux ensembles. Si f est une application bijective de E dans F, alors elle admet une application réciproque de F dans E, notée , qui est également bijective. On a l'équivalence :

Remarque : Pour trouver l'application réciproque d'une bijection f, comme pour l'injection et la surjection on prend un y quelconque dans F, et on résout l'équation y=f(x). Cette résolution fournit d'ailleurs l'application réciproque (voir l'exemple 4).
Exemples.
  1. L'application de dans est bijective et admet l'application exp de dans pour application réciproque.
  2. L'application de dans qui à x associe x2 est bijective et admet pour réciproque l'application de dans qui à x associe .
  3. Dans un plan, la symétrie orthogonale sD par rapport à une droite D est bijective et admet elle-même pour application réciproque : .
  4. Reprenons l'exemple 2 de cette page : .
    L’antécédent (unique) de tout réel y différent de 2 est . L'application réciproque est donc l'application :
    : , définie pour tout par : . Ou si l'on préfère : , la variable d'une fonction étant une lettre muette à laquelle toute autre est substituable.
    Montrer que f est une bijection de sur son image X (que l'on déterminera), et trouver son application réciproque.

    • X est l'intervalle ouvert
Exercices.
  1. Chercher l'application réciproque
  2. Dans cet exercice , des questions sur une "fonction quadratique" (= fonction polynôme du second degré) sont posées : définition, injectivité, surjectivité. On peut s'aider d'un calculateur graphique.
  3. Calcul de valeurs pour \(f^{-1}\)

Fonctions paires

Définitions.
  1. On dit qu'une fonction f de dans est paire, si
    • ,
    • f vérifie la propriété : , f(-x) = f(x).
  2. On munit le plan d'un repère orthonormé . La courbe représentative d'une application f de dans est symétrique par rapport à la droite d'équation x=a, si f vérifie :

, f(a+x) = f (a-x) ou de façon équivalente

Rappel : Définition et propriétés d'une symétrie axiale
Propriété.

Dans un repère orthonormé, la représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (symétrie axiale).

Exemple d'une fonction paire. La fonction f de dans définie par f(x) = x4-6x2+3.

Propriété. Dans un repère orthonormé, la représentation graphique d'une parabole, d'équation y=ax2+bx+c, est symétrique par rapport à la droite (verticale) d'équation passant par son sommet.
Exemple. La parabole d'équation y = 2x2-3x-1 symétrique par rapport à la droite d'équation passant par le sommet de la parabole.

Exercices.

Les fonctions suivantes de dans sont-elles paires ?
f1(x) = x4-x2 +1 , f2(x) = 2x4-x +1 , , ,
, , ,

Fonctions impaires

Définitions.
  1. On dit qu'une fonction f de dans est impaire, si
    • ,
    • , f(-x) = -f(x)
  2. La courbe représentative d'une application f de dans admet le point de coordonnées (a,b) pour centre de symétrie, si f vérifie :

, ou de façon équivalente

Propriété. La représentation graphique d'une fonction impaire est, dans un repère, symétrique par rapport à l'origine du repère (symétrie centrale).
Rappel : Définition et propriétés d'une symétrie centrale
Exemple de représentation graphique d'une fonction impaire. La fonction f de dans définie par : .

Exercices. Les fonctions suivantes de dans sont-elles impaires ?
  1. , f2(x) = sin(2x+1), , ,
    , , ,
  2. Montrer que la fonction de dans définie par , définie pour admet un centre de symétrie que l'on déterminera.

    On écrit, pour la fonction donnée, l'égalité f(a+x) + f (a-x)=2b. On simplifie l'écriture jusqu'à arriver à un trinôme du second degré nul (dont les coefficients doivent donc être nuls, à cause de l'unicité de l'écriture d'un polynôme). Le résultat est le point .

Fonctions périodiques

Définition. Soit T un réel non nul. On dit qu'une fonction f de dans dont le domaine de définition est Df, est périodique de période T ou T-périodique si :
Remarque. Lorsqu'une fonction admet pour période, elle admet aussi (vérifiez-le) 2T, 3T... pour périodes. On convient en général de réserver le terme de période d'une fonction périodique au plus petit réel T positif et non nul vérifiant la définition.
Propriété. La représentation graphique d'une fonction périodique de période T s'obtient, à partir de la représentation graphique CT de la fonction sur un intervalle de longueur T, par des translations successives de vecteur .
Rappel : Définition et propriétés d'une translation
Exemples.
  1. La fonction est périodique de période
  2. Les fonctions "créneau" que l'on trouve en physique, comme celle-ci, de période 1.

  3. La fonction définie par : f(x) = sin(3x) - cos(2x). Quelle semble en être la période ?

Exercice 1.

Quelle est la plus petite période des fonctions suivantes, définies de dans ?

, , .

Définition. On appelle partie entière du nombre réel x l'entier , noté ou , ainsi défini :
Pour tout x réel, il existe un entier tel que . Par définition, on pose .
La partie entière d'un réel x est donc le plus grand entier inférieur ou égal à x.
Exercice 2. Montrer que la fonction f de dans définie par est périodique de période 1.

Translations

Rappel : Définition et propriétés d'une translation
Définitions.
  1. Soit a un réel quelconque, dans un repère orthonormé , l'image de la courbe Cf d'une fonction f par une translation de vecteur , est la courbe de la fonction f1 définie par :

    ,

  2. Soit b un réel quelconque, l'image de la courbe Cf d'une fonction f par une translation de vecteur , est la courbe de la fonction f2, définie par :

    ,

Translation horizontale : Changement de x en x-a

Soit a un réel, f une fonction et g la fonction définie par g(x) = f(x-a). Alors la courbe représentative de g s'obtient à partir de celle de f en lui faisant subir une translation de vecteur .

La courbe bleue est la représentation de la fonction définie par f(x) = x3 - 3x2+2x, on a tracé en rouge la représentation graphique de la fonction définie par g(x) = f(x+3) c'est-à-dire pour a= -3.

Translation verticale

Soit b un réel, f une fonction et g la fonction définie par g(x) = f(x)+b. Alors la courbe représentative de g s'obtient à partir de celle de f en lui faisant subir une translation de vecteur .

Par exemple, en gardant la même fonction f que ci dessus, on a tracé en rouge la représentation graphique de la fonction définie par g(x) = f(x)+4.

Transformations opérant sur une représentation graphique

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé .

Changement de x en -x

Le changement de x en -x dans l'écriture d'une fonction symétrise la représentation graphique de la fonction par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple. La courbe bleue est la représentation de la fonction définie par f(x) = x3 - 3x2+2x, la courbe rouge est la représentation de la fonction définie par g(x) = -x3 - 3x2-2x.

Changement de f(x) en puis en

On considère la fonction définie par f(x) = 2x3-x4. Elle est tracée en rouge. En bleu, on a tracé la courbe de la fonction g avec . En orange, la courbe de h, avec Ces transformations s'appellent des affinités. Elles correspondent à des "dilatations", à partir de la courbe de f, verticalement pour g et horizontalement pour h.

Exercice. Fonctions graphiques
Dans cet exercice, il s'agit , à partir de la représentation graphique d'une fonction définie par , d'identifier les représentations graphiques des fonctions définies par : en identifiant les transformations mises en œuvre.

Bibliographie

Livres

Cours WIMS

  1. DOC Raisonnements
  2. Doc Ensembles
  3. Isométries du plan

cours d'introduction aux notions de fonctions et d'applications.
: functions, maps,surjectivity, injectivity, image, preimage, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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