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OEF Calculs de limites avec logarithmes ou exponentielles
OEF Calculs de limites avec logarithmes ou exponentielles
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les calculs de limites
en classes de Terminale (ES, S, STI).
Les compétences requises et testées portent sur :
les limites des fonctions de référence (polynômes, quotient de polynômes,
exp, ln) aux bornes de leurs ensembles respectifs de définition ;
les règles opératoires sur les limites (théorèmes sur les limites de sommes, produits, quotients, composées) ;
la détection des formes indéterminées ;
les propriétés de croissances comparées entre fonctions
polynômes et fonctions exp ou ln.
Les exercices comportent plusieurs étapes successives. Un exercice continue à se dérouler même
si une réponse fausse a été donnée à l'étape précédente. Les réponses justes sont
indiquées après chaque étape, afin de pouvoir continuer correctement les calculs.
Limite de u(x)*exp(kx)
On considère la fonction
définie sur . Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de
, en et en respectivement.
On nomme
la fonction
définie sur . Donner les limites de
en et en : (
)
=
et
=
Les limites de
en et en sont :
et
Donner maintenant les limites de
en et en : (
)
=
et
=
Les limites de l'exponentielle en et en sont :
et
Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
Des résultats précédents, et par , on déduit que :
Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
Limite de u(x)*ln(kx)
On considère la fonction
définie sur . Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de
, en et en respectivement.
On nomme
la fonction
définie sur . Donner les limites de
en et en : (
)
=
et
=
Les limites de
en et en sont :
et
Donner maintenant les limites de
en et en : (
)
=
et
=
Les limites du logarithme en et en sont :
et
Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
Des résultats précédents, et par , on déduit que :
Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
Limite de k.ln(ax+b) ou k/ln(ax+b)
Soit
la fonction définie sur
par :
.
Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de
en
.
La fonction
est de la forme
avec :
=
et
=
La fonction
est de la forme
avec
et
.
Donner la limite de
en : (
)
=
La limite de
en est :
Donner la limite de
en
)
=
D'après le cours, on sait que :
En posant
, par composition de limites, on déduit que : (
)
=
Par composition, la limite de
en est :
.
Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient : (
)
=
Limite de k.exp(ax+b) ou k/exp(ax+b)
Soit
la fonction définie sur
par :
.
Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de
en .
La fonction
est de la forme
avec :
=
et
=
La fonction
est de la forme
avec
et
.
Donner la limite de
en : (
)
=
La limite de
en est :
Donner la limite de
en
)
=
D'après le cours, on sait que :
En posant
, sachant que
, on déduit que : (
)
=
La limite de
en est :
.
Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient que : (
)
=
Croissance comparée : limites de base
Dans cet exercice, on revoit les limites de référence exprimant les croissances comparées entre exponentielle ou logarithme d'une variable et puissances de cette même variable.
L'affirmation « » est :
L'affirmation «» est .
L'affirmation juste est : «».
Formellement, cela signifie que :
=
Formes indéterminées avec ln ou exp
Soit
la fonction définie sur
par :
.
On a donc
avec, pour tout réel
de
,
et
.
Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
Donner la limite de
en :
=
Votre réponse était juste!
Attention, votre réponse () n'était pas la bonne!
La limite de
en est :
Donner la limite de
en :
=
Votre réponse était juste!
Hélas, votre réponse () n'était pas bonne !
La limite de
en est :
Donner la limite de
en
=
Votre réponse était juste!
Humm, votre réponse () n'était pas correcte !
En posant
, sachant que
, on déduit que :
=
Votre réponse était juste!
Votre réponse () n'était pas correcte !
la limite de
en est :
.
Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
Votre réponse était juste!
Votre réponse () était erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Formes indéterminées avec exponentielle
Soit
la fonction définie sur
par :
.
On a donc
avec, pour tout réel
de
,
et
.
Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
Donner la limite de
en :
=
Votre réponse était juste!
Attention, votre réponse () n'était pas la bonne!
La limite de
en est :
Donner la limite de
en :
=
Votre réponse était juste!
Hélas, votre réponse () n'était pas bonne !
La limite de
en est :
Donner la limite de
en
=
Votre réponse était juste!
Humm, votre réponse () n'était pas correcte !
En posant
, sachant que
, on déduit que :
=
Votre réponse était juste!
Votre réponse () n'était pas correcte !
la limite de
en est :
.
Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
Votre réponse était juste!
Votre réponse () était erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Formes indéterminées avec logarithme
Soit
la fonction définie sur
par :
.
On a donc
avec, pour tout réel
de
,
et
.
Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
Donner la limite de
en :
=
Votre réponse était juste!
Attention, votre réponse () n'était pas la bonne!
La limite de
en est :
Donner la limite de
en :
=
Votre réponse était juste!
Hélas, votre réponse () n'était pas bonne !
La limite de
en est :
Donner la limite de
en
=
Votre réponse était juste!
Humm, votre réponse () n'était pas correcte !
En posant
, sachant que
, on déduit que :
=
Votre réponse était juste!
Votre réponse () n'était pas correcte !
la limite de
en est :
.
Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
Votre réponse était juste!
Votre réponse () était erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Limites de référence (QUIZZ)
Dans cet exercice on exerce le calcul mental sur les limites de référence au programme de Terminale. Il faut répondre rapidement !
=
=
=
=
=
=
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Description: exercices pour toutes classes de terminales. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, , logarithme, exponentielle, limites, croissance comparée, formes indéterminées