Sur les expressions numériques
Sur les expressions numériques
I Expression sans parenthèses
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Sur les expressions numériques
→ I Expression sans parenthèses
I-1 Avec des additions et des soustractions
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.
Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]
Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.
Exemple [Calculons l'expression A]
| A | = | 84.8 - 31.4 - 24.6 - 5.3 |
| A | = | 53.4 - 24.6 - 5.3 |
| A | = | 28.8 - 5.3 |
| A | = | 23.5 |
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I Expression sans parenthèses
→ I-1 Avec des additions et des soustractions
I-2 Priorité de la multiplication
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- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Proposition [Priorité de la multiplication]
Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.
Exemple [Calculons l'expression A]
| A | = | |
| A | = | 74 + 56 |
| A | = | 130 |
Exemple [Calculons l'expression A]
| A | = | |
| A | = | 406 - 36 |
| A | = | 370 |
Théorème
La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.
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I Expression sans parenthèses
→ I-2 Priorité de la multiplication
II Expression avec parenthèses
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Proposition [Priorité des parenthèses]
Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord
les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses
les plus intérieures.
Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !
Exemple [Calculons l'expression A]
| A | = | |
| A | = | |
| A | = | 56 + 33 |
| A | = | 89 |
Remarque
Comme pour le calcul de
A, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;
Exemple [Calculons l'expression B]
| B | = | |
| B | = | |
| B | = | |
| B | = | 88 |
Remarque
Comme pour le calcul de
B, remarquer que l'on commence par
les parenthèses les plus intérieures ;
Exemple [Calculons l'expression C]
| C | = | |
| C | = | |
| C | = | |
| C | = | 28 - 20 |
| C | = | 8 |
Remarque
Comme pour le calcul de
C, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2
restent valables.
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→ II Expression avec parenthèses
III Simplification d'écriture
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Proposition [Absence du signe de la multiplication]
Le signe de multiplication (
) peut être supprimé devant une lettre
ou devant une parenthèse.
) peut être supprimé devant une lettre
ou devant une parenthèse.
Exemples
- Le produit peut s'écrire 13b ;
- le produit peut s'écrire b z ;
- le produit peut s'écrire (z+13). On dit 1 facteur de z+13 ;
- le produit peut s'écrire 13(b-1). On dit 13 facteur de b-1;
- le produit peut s'écrire b2. On dit b au carré. De même on a ce qui vaut 169.
Remarque [Attention]
Le signe
est obligatoire lorsque son absence entraîne une
confusion. En effet,
ne s'écrit pas
131
puisque cela vaut
13.
est obligatoire lorsque son absence entraîne une
confusion. En effet,
ne s'écrit pas
131 puisque cela vaut
13.
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→ III Simplification d'écriture
IV Distributivité
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Sur les expressions numériques
→ IV Distributivité
IV-1 Égalités de la distributivité
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- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Proposition [Distributivité]
Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres
k,
a
et
b. On dit que la multiplication est distributive par rapport
à l'addition et à la soustraction.
Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.
Exemple [Calculer A]
| A | = | |
| A | = | |
| A | = | 117 - 26 |
| A | = | 91 |
| A | = | |
| A | = | |
| A | = | 91 |
Exemple [Calculer B]
| B | = | |
| B | = | |
| B | = | |
| B | = | 216 |
| B | = | |
| B | = | 152 + 64 |
| B | = | 216 |
Un côté du rectangle rouge mesure a. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure k. L'autre côté du rectangle bleu mesure b.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont k et a+b.
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→
IV Distributivité
→ IV-1 Égalités de la distributivité
IV-2 Développer, factoriser
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- II Expression avec parenthèses
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- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :
- pour développer :
= - pour factoriser :
Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-2 Développer, factoriserV Distributivité et calcul mental
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- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.Exemple [Calculons A]
A = A = A = A = 2950 + 590 A = 3540 Exemple [Calculons B]
B = B = B = B = 20250 Sur les expressions numériques → V Distributivité et calcul mental - pour factoriser :